2021-03-09-数值分析-Day12-续数值积分-数值微分
续:6.1 - 6.11 数值积分 复化求积公式 Newton-Cotes求积公式的精度随着求积节点数的增加而增加,但求积节点数 \(\ge8\) 时,Newton-Cotes公式数值不稳定。实际应用中,将积分区间分成若干个小区间分别求积分再求和,即复化求积公式的基本思想。 在区间 \([a,b]\) 上,取等距节点 \(x_k=a+kh,\ k=0,1,\dots,n\) , 由定积分的区间可加性得 \(\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)dx\) 。 若在每个小区间 \(x_{k-1},x_k\) 用梯形公式,则有复化梯形公式 \(T_n\) : \[ \displaystyle I=\int_a^bf(x)dx\approx T_n=\frac{h}{2}\sum_{k=1}^n\left[f(x_{k-1})+f(x_k)\right]=\frac{h}{2}\left[2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(a)+f(b)\right] \] 复化梯形公式的的误差为: \[ \begin{array}{l}\displaystyle I-T_n=-\frac{h^3}{12}[f''(\xi_1)+\dots+f''(\xi_n)]=-\frac{h^2(b-a)}{12}f''(\eta),\quad\eta\in(a,b)\\\displaystyle \left|I-T_n\right|\le\frac{(b-a)^3}{12n^2}\max_{a\le x\le b}|f''(x)|\end{array} \] 可知复化梯形公式收敛,且要使得误差 \(\le\varepsilon\) ,只要 \(\left|I-T_n\right|\le\varepsilon\) 或 \(\displaystyle n>\sqrt{\frac{(b-a)^3\max_{a\le x\le b}|f''(x)|}{12\varepsilon}}\) 。 同理,复化Simpson公式 \(S_n\) : \[ \displaystyle I=\int_a^bf(x)dx\approx S_n=\frac{h}{6}\left[4\sum_{k=1}^nf(x_{k-\frac{1}{2}})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(a)+f(b)\right] \] 复化Simpson公式的误差为: \[ \begin{array}{l}\displaystyle I-S_n=-\frac{h^4(b-a)}{2880}f^{4}(\eta),\quad\eta\in(a,b)\\\displaystyle \left|I-S_n\right|\le\frac{(b-a)^5}{2880n^4}\max_{a\le x\le b}|f^{(4)}(x)|\end{array} \] 可知收敛,且要使得误差 \(\le\varepsilon\) ,只要 \(\left|I-S_n\right|\le\varepsilon\) 或 \(\displaystyle n>\sqrt[4]{\frac{(b-a)^5\max_{a\le x\le b}|f^{(4)}(x)|}{2880\varepsilon}}\) 。 同理,复化Cotes公式 \(C_n\) :...