2021-02-28-数值分析-Day03-范数-迭代改善算法
2.9-11 范数 为研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,对 \(R……n\) ( \(n\) 维向量空间)中的向量( \(R^{n\times n}\) 中的矩阵)的“大小”引进度量——向量(或矩阵)的范数。 向量的范数 定义1:设 \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T,y=(y_1,y_2,\dots,y_n)^T\in R^n (or\ C^n)\) 将实数 \((x,y)=y^Tx=\sum_{i=1}^{n}x_i\overline{y_i}\)(或复数 \((x,y)=y^Hx=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\) )称为向量x,y的数量积(内积)。 将非负实数 \(\|x\|_2=(x,x)^{1\over2}=(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^{1\over2}\) 或 \(\|x\|_2=(x,x)^{1\over2}=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{1\over2}\) 称为向量 \(x\) 的欧式范数。 引理:向量的内积运算支持交换律、分配律、与实数乘时的结合律。 Cauchy-Schwarz不等式 \(|(x,y)|\le \|x\|_2\cdot\|y\|_2\) 当且仅当 \(x\) 与 \(y\) 线性相关时取等。 三角不等式 \(\|x+y\|_2\le\|x\|_2+\|y\|_2\) 定义2-向量的范数:若向量 \(x\in R^n\) (或 \(C^n\) )的某个实值函数 \(N(x)=\|x\|\) ,满足条件: \[ \begin{aligned} & (1)\ \|x\|\ge 0\ (\|x\|=0当且仅当x=0)\quad\textbf{正定条件}\\ & (2)\ \|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|,\ \forall\alpha\in R(或\alpha\in C)\quad\textbf{齐次性}\\ & (3)\ \|x+y\|_2\le\|x\|_2+\|y\|_2\quad\textbf{三角不等式}\\ & (3\to 4)\ \|x-y\|_2\ge\|x\|_2-\|y\|_2 \end{aligned} \] 则称 \(N(x)\) 是 \(R^n\) (或 \(C^n\) )上的一个向量范数(或模)...