2022-06-04-GAMES104现代游戏引擎-Lecture11-Physics System - Applications

质点弹簧系统
- Spring force 胡克力 \[ \vec F^S=k_{\rm spring}\Delta\vec x \]
- Spring damping force （damping 衰减，空气阻力所致/提高迭代稳定性） \[ \vec F^d=-k_{\rm damping}\vec v \]
横向、纵向、斜向、跨越质点加弹簧，提高精度
受力
- 重力
- 风力
- 空气阻力
- 周围弹簧弹力（胡克力 + damping） \[ \vec F_{\rm net}^{\rm vertex}=M\vec g+\vec F_{\rm wind}(t)+\vec F_{\rm air\ resistance}(t)+\sum_{\rm springs\in v}(k_{\rm spring}\Delta \vec x(t)-k_{\rm damping}\vec v(t))=M\vec a(t) \]
Verlet数值积分 \[ \vec x(t+\Delta t)=2\vec x(t)-\vec x(t-\Delta t)+\vec a(t)(\Delta t)^2 \]
- 半隐式欧拉积分 \[ \vec v(t+\Delta t)=\vec v(t)+\vec a(t)\Delta t \\ \vec x(t+\Delta t)=\vec x(t)+\vec v(t+\Delta t)\Delta t \]
- Observation \[ \left\{\begin{array}{l}\vec v(t+\Delta t)=\vec v(t)+\vec a(t)\Delta t \\ \vec x(t+\Delta t)=\vec x(t)+\vec v(t+\Delta t)\Delta t\\ \vec x(t)=\vec x(t-\Delta t)+\vec v(t)\Delta t \end{array}\right.\ \Rightarrow\ \left\{\begin{array}{l} \vec x(t+\Delta t)=\vec x(t)+(\vec v(t)+\vec a(t)\Delta t)\Delta t\\ \vec x(t)=\vec x(t-\Delta t)+\vec v(t)\Delta t \end{array}\right. \]
- 得到 \[ \vec x(t+\Delta t)=2\vec x(t)-\vec x(t-\Delta t)+\vec a(t)(\Delta t)^2 \]
- 与半隐式欧拉积分数学等价，但实现上因为排除了不稳定的速度因素，更加稳定

区别
- 传统Simulation：Constrains => Force => Velocity => Position
- PBD：Constrains ==> Position
用约束描述物理属性
Solver更稳定
后面会再进一步解释

包括布料与布料、布料与刚体的碰撞，精度较低时极易发生

Chunk Hierarchy，组织未破碎物体的碎片
Connectivity Graph，生成连接关系，每个Edge有Connectivity Value
Damage Calculation，受力超过Connectivity Value则破坏连接
- Impact Point向外扩散 \[ D_d=\left\{\begin{aligned} &D &&d\le R_\min\\ &D\cdot\left(\dfrac{R_\max-d}{R_\max-R_\min}\right)^K &&R_\min<d<R_\max\\ &0 &&d\ge R_\max\quad \end{aligned}\right. \]
Pin住某些与世界的连接
Voronoi生成Chunk
- @PBA 随机取点，等距垂平面
- 断面纹理生成
  - 实时的3D Texture生成
  - 离线生成，runtime切换
- Chunk的分布 => 取点的分布
Pipeline
增加其他真实感效果
- 音效
- 粒子
- Navigation更新
谨慎使用，增加了大量Mesh，对算力要求很高

A rigidbody actor
驱动力 Traction Force
- 扭矩 Torque \(T=T_{\rm engine}X_gX_dn\)
- 驱动力 Traction \(\vec F_{\rm Traction}=\dfrac{T}{R_w}\vec u\)
悬挂力 Suspension Force \[ |\vec F_{\rm suspension}|=k(L_{\rm rest}-(L_{ \rm hit}-R_W)) \]
轮胎力 Tire Forces
- 径向力 Longitudinal force \(F_{\rm long}=F_{\rm traction}+F_{\rm drag}+F_{rr}\)
- 切向力 Lateral force \(F_{\rm lateral}=C_c*a\)
重心 Center of Mass \[ M=M_1+M_2\quad \vec x_{cm}=\dfrac{M_1\vec x_1+M_2\vec x_2}{M} \]
- 重心太靠前在飞跃时容易栽，重心准确则稳定
- 重心靠前转向力不足，靠后转向力过大
- 变速时重心会有偏移 Weight Transfer 加速时车身后仰重心靠后，刹车时车身前倾重心靠前
转向角
- 转向时，若内外侧轮转向角相同，则外侧轮打滑空转
- 转向时，外侧轮转向角要大于内侧轮
- 根据旋转中心计算 \[ \alpha_l=\tan^{-1}\dfrac{L_{wb}}{R_t+\frac{L_r}{2}}\\ \alpha_r=\tan^{-1}\dfrac{L_{wb}}{R_t-\frac{L_r}{2}} \]
轮胎接触
- 单方向垂直向下的 Single Raycast 效果不真实，易发生穿插
- 球面 Spherecast 实现真实的接触

拉格朗日力学：用约束描述所有运动，把力学计算改变为求解约束问题
eg. 匀速圆周运动
- 位置约束 \(C(\mathbf x)=\|\mathbf x\|-r=0\)
- 速度约束 \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}C(\mathbf x)=\dfrac{\mathrm dC}{\mathrm d\mathbf x}\cdot \dfrac{d\mathbf x}{\mathrm dt}=\mathbf J\cdot\mathbf v=0\)
\(\mathbf J\) Jacobian
- \(\mathbf J^T\) 与 \(\mathbf v\) 垂直 \(\mathbf J^T\cdot\mathbf v=0\)
- 把速度转换成速度约束
弹簧质点等系统也都可用约束表示 eg. 弹簧质点系统拉伸时：\(C_{\rm stretch}(\mathbf x_1, \mathbf x_2)=\|\mathbf x_1-\mathbf x_2\|-d\)

L11_PBD2

L11_PBD1

L11_PBD3

在PBD基础上引入stiffness量，表示硬约束还是软约束
硬约束：stiffness非常大，易爆炸
软约束：stiffness较小，布料等软体
\[ U(\mathbf x)=\dfrac{1}{2}\mathbf C(\mathbf x)^T\alpha^{-1}\mathbf C(\mathbf x)\quad \alpha:\text{stiffness} \]

将约束转换为服从性矩阵 Compliance Matrix
Unreal Engine Chaos